我们一直在关注随机化实验中的有限总体视角, 我们把所有潜在输出看作固定的数目. 即使潜在结果是随机变量, 我们也可以在有限视角下, 对它们取条件概率. 这样的好处是, 它关注实验设计, 对结果的生成过程有最小的额外假设. 但是, 它也被批评只有内部有效性, 但没有外部有效性.

目前所有的统计特性都是基于条件概率得到的, 那我们如何推广到一个更大的群体呢?
对于一些统计学家, 这只是一个技术问题. 我们可以改变统计框架, 假设这些单位是从一个更大的超总体抽样得到的. 这是一个方便的框架, 尽管它没有真正解决上面的问题.

1 CRE

假设 $$\{Z_i,Y_i(1),Y_i(0),X_i{\}}_{i=1}^n\stackrel{\mathrm{i}.\mathrm{i}.\mathrm{d}}{\sim }\{Z,Y(1),Y(0),X\}$$ 来自一个超总体. 则我们可以去掉下标 ${\displaystyle i}$. 稍微滥用一下记号, 定义总体平均因果效应为 $$\tau =\mathbb{E}[Y(1)-Y(0)]=\mathbb{E}[Y(1)]-\mathbb{E}[Y(0)].$$ 在超总体的框架下, 我们可以得到 CRE

此时^[1] $$\begin{array}{rl}\tau & =\mathbb{E}[Y(1)|Z=1]-\mathbb{E}[Y(0)|Z=0]\\ \text{(1.1)}& & =\mathbb{E}(Y|Z=1)-\mathbb{E}(Y|Z=0).\end{array}$$
这里 ${\displaystyle \tau }$ 可以直接由观测结果表示, 因此它是非参数可识别的^[2].

(1.1) 立即推出, 我们有一个矩估计量 ${\displaystyle \hat{\tau }}$. 在 ${\displaystyle \overrightarrow{Z}}$ 条件下, 这就是一个标准的双样本检测问题. 我们有$$\begin{array}{rl}& \mathbb{E}(\hat{\tau }|\overrightarrow{Z})=\tau ,\\ & \mathrm{Var}(\hat{\tau }|\overrightarrow{Z})=\frac{\mathrm{Var}\{Y(1)\}}{n_1}+\frac{\mathrm{Var}\{Y(0)\}}{n_0}.\end{array}$$
在 IID 采样下, 样本方差是无偏的, 所以 Neyman 的方差估计量对于 ${\displaystyle \mathrm{Var}(\hat{\tau }|\overrightarrow{Z})}$ 是无偏的. 因此就没有保守性的问题了.

我们还可以讨论协变量调整. 基于 OLS: $$Y(1)={\gamma }_1+{\beta }_1^{\mathrm{T}}X+\epsilon (1),Y(0)={\gamma }_0+{\beta }_0^{\mathrm{T}}X+\epsilon (0).$$ 我们有 $$\tau =\mathbb{E}[Y(1)-Y(0)]={\gamma }_1-{\gamma }_0+({\beta }_1-{\beta }_0{)}^{\mathrm{T}}\mathbb{E}(X),$$ 因为 ${\displaystyle \epsilon (1),\epsilon (0)}$ 均值为 ${\displaystyle 0}$. 如果采样的版本记为 ${\displaystyle {\hat{\gamma }}_1,{\hat{\beta }}_1;{\hat{\gamma }}_0,{\hat{\beta }}_0}$, 则 ${\displaystyle \tau }$ 的协变量调整为 $${\hat{\tau }}_{\mathrm{adj}}={\hat{\gamma }}_1-{\hat{\gamma }}_0+({\hat{\beta }}_1-{\hat{\beta }}_0{)}^{\mathrm{T}}\bar{X}.$$ 如果 ${\displaystyle \bar{X}=0}$, 这退化为 Lin 的估计量 ( (2.1)) ${\displaystyle {\hat{\tau }}_{\mathrm{L}}={\hat{\gamma }}_1-{\hat{\gamma }}_0}$.
不过 EHW 方差估计量没法对 ${\displaystyle {\hat{\tau }}_{\mathrm{L}}}$ 适用, 因为在超总体采样的时候会有额外的不确定性. 我们可以进行如下修正: ${\displaystyle \frac{({\hat{\beta }}_1-{\hat{\beta }}_0{)}^{\mathrm{T}}{S}_X^2({\hat{\beta }}_1-{\hat{\beta }}_0)}{n}}$.

2 扩展到 SRE

依然假设 ${\displaystyle \{Z_i,Y_i(1),Y_i(0),X_i{\}}_{i=1}^n\stackrel{\mathrm{i}.\mathrm{i}.\mathrm{d}}{\sim }\{Z,Y(1),Y(0),X\}}$. 假设协变量离散 ${\displaystyle X_i\in \{1,\cdots ,K\}}$.

此时$$\begin{array}{rl}{\tau }_{[k]}& =\mathbb{E}[Y(1)-Y(0)|X=k]\\ & =\mathbb{E}(Y|Z=1,X=k)-\mathbb{E}(Y|Z=0,X=k),\end{array}$$ 从而 $$\begin{array}{rl}\tau & =\mathbb{E}[Y(1)-Y(0)]=\sum _{k=1}^K\mathbb{P}(X=k)\mathbb{E}[Y(1)-Y(0)|X=k]\\ & =\sum _{k=1}^K\mathbb{P}(X=k){\tau }_{[k]}.\end{array}$$